by Biết \(\int\limits_2^{e + 1} {\frac{{\ln \left( {x – 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx = a + b{e^{ – 1}}} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \(a + b = 1\)
B. \(a + b = – 1\)
C. \(a + b = – 3\)
D. \(a + b = 3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x – 1} \right) = u\\\frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x – 1} \right) = u\\\frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x – 1}}dx = du\\ – \frac{1}{{x – 1}} = v\end{array} \right.\)
Ta có \(\int\limits_2^{e + 1} {\frac{{\ln \left( {x – 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx = \ln \left( {x – 1} \right).\left. {\left( { – \frac{1}{{x – 1}}} \right)} \right|} _2^{e + 1} + \int\limits_2^{e + 1} {\frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx} \)
\( = – \frac{1}{e} – \left. {\frac{1}{{x – 1}}} \right|_2^{e + 1} = – \frac{1}{e} – \frac{1}{e} + 1 = 1 – 2.{e^{ – 1}}\)
Suy ra \(a = 1;\,\,\,b = – 2 \Rightarrow a + b = – 1.\)
Chọn B.
