by Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + \frac{b}{c}\) (với \(a\) là số hữu tỉ, \(b\), \(c\) là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của \(S = 2a + 3b + c\).
A. \(S = 4\).
B. \(S = – 6\).
C. \(S = 6\).
D. \(S = 5\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần để để tính tích phân và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\)
Đặt \(\ln x = t \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = \ln 2\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{t}{{{e^t}}}dt = } \int\limits_0^{\ln 2} {t{e^{ – t}}dt} \)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = {e^{ – t}}dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = – {e^{ – t}}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. { – t{e^{ – t}}} \right|_0^{\ln 2} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – t}}dt} = – \ln 2.{e^{ – \ln 2}} – \left. {{e^{ – t}}} \right|_0^{\ln 2} = – \frac{1}{2}\ln 2 – {e^{ – \ln 2}} + 1 = – \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 2a + 3b + c = 4.\end{array}\)
Chọn A.
