by Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + \tan x}}dx = a.\pi + b\ln 2} \) với \(a;\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\frac{a}{b}\).
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{6}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số đã cho về \(\frac{1}{{1 + \tan x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x – \cos x}}} \right)\) rồi tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + \tan x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x + \cos x + \cos x – \sin x}}{{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}dx} \\ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}\left[ {x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} } \right]\\ = \frac{1}{2}\left. {\left( {x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \ln \sqrt 2 } \right) = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{2}\ln \sqrt 2 \\ = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}\ln 2\\ \Rightarrow a = \frac{1}{8},b = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2}\end{array}\)
Chọn A.
