by Biết \(I = \int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} = a{e^3} + b\) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(9\left( {a + b} \right)\) bằng
A. \(3\)
B. \(10\)
C. \(9\)
D. \(6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dx = {x^2}dx\end{array} \right.\).
– Tính tích phân đã cho tìm \(a,b\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dx = {x^2}dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right)} \right|_1^e – \int\limits_1^e {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}.\frac{1}{x}} \right)dx} = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{3}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^e = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}{e^3} + \frac{1}{9}\)
\( \Rightarrow a = \frac{2}{9},b = \frac{1}{9} \Rightarrow 9\left( {a + b} \right) = 3\).
Chọn A.
