by Đặt điện áp xoay chiều\(u = U \sqrt{2} \cos2\pi ft\) (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp nhau. Khi nối tắt tụ C thì điện áp hiệu dụng trên điện trở R tăng 2 lần và dòng điện trong hai trường hợp này vuông pha nhau. Hệ số công suất của đoạn mạch lúc sau bằng:
A. \(\frac{2}{\sqrt{5}}.\)
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
D. \(\frac{1}{\sqrt{5}}.\)
Hướng dẫn
\(Z_1 = \sqrt{R^2 + (Z_L – Z_C)^2};\ Z_2 = \sqrt{R^2 + Z_{L}^{2}}\)
Khi UR tăng lên hai lần \(\rightarrow Z_1 = 2Z_2 \rightarrow R^2 + (Z_L – Z_C)^2 = 4r^2 + 4Z{_{L}}^{2}\) \(\rightarrow (Z_L – Z_C)^2 = 3R^2 + 4Z{_{L}}^{2}\ (*)\)
\(\tan \varphi _1 = \frac{Z_L-Z_C}{R};\ \tan \varphi _2 = \frac{Z_L}{R}\)
i1 và i2 vuông pha với nhau nên \(\tan \varphi _1. \tan \varphi _2 = -1 \rightarrow \frac{Z_L – Z_C}{R}.\frac{Z_L}{R} = -1 \ (**)\)
\((Z_L – Z_C)^2 Z{_{L}}^{2} = R^4 \rightarrow (Z_L – Z_C)^2 = \frac{R^4}{Z{_{L}}^{2}}\ (**)\)
Từ (*) và (**) ta có \(3R^2 + 4Z{_{L}}^{2} = \frac{R^4}{Z{_{L}}^{2}} \rightarrow 4Z{_{L}}^{4} + 3R^2Z{_{L}}^{2} – R^4 = 0 \rightarrow Z{_{L}}^{2}= \frac{R^2}{4}\)
Do đó: \(\cos \varphi _1 = \frac{R}{Z_1} = \frac{R}{2\sqrt{R^2 + \frac{R^2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
Công thức giải nhanh \(\cos \varphi _1 = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}\), với \(n = \frac{U_{R_1}}{U_{R_2}}\)
