by Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm. Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}\).
A. \(7\)
B. \(\frac{7}{2}\)
C. \(8\)
D. \(10\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Lời giải chi tiết:
Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.
Áp dụng định lý Vi-et ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = – a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} = – c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4} = – \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \frac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} – \frac{1}{4}\left( {\sum {\frac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}} \ge \frac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \frac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { – {x_1}} \right)} + \frac{1}{4}\sum {\frac{{ – 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.
Chọn C.
