: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}$

: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}$

C. 37845

B. 14131

C. 324234

D. 131239

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $(k,j)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align}

0\le j\le k\le 10 \\

j=2k-12 \\

\end{align} \right.$

Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:

$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$