by Trên tia $Ox$ lấy các điểm ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},\,…,\,{{A}_{n}},\,…$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, $O{{A}_{n}}=n$. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia $Ox$, vẽ các nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$, $n=1,2,…$ Kí hiệu ${{u}_{1}}$ là diện tích nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{1}}$ và với mỗi $n\ge 2$, kí hiệu ${{u}_{n}}$ là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n-1}}$, nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$ và tia $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
C. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng.
B. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=\frac{\pi }{4}$.
C. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=\frac{\pi }{8}$.
D. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng có công sai $d=\frac{\pi }{2}$.
Hướng dẫn
Đáp án B.
Bán kính đường tròn có đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{r}_{n}}=\frac{n}{2}$.
Diên tích nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{S}_{n}}=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{n}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{n}^{2}}\pi }{8}$.
Suy ra ${{u}_{n}}={{s}_{n}}-{{s}_{n-1}}=\frac{\pi }{8}\left[ {{n}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}} \right]=\frac{\left( 2n-1 \right)\pi }{8},n\ge 2$.
Ta có ${{u}_{1}}=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{8}$.
Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{\pi }{4},\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra B là phương án đúng.
