. Tính tổng $S=\frac{1}{2!2017!}+\frac{1}{4!2015!}+\frac{1}{6!2013!}+…+\frac{1}{2016!3!}+\frac{1}{2018!}$ theo$n$ ta được

.

Tính tổng $S=\frac{1}{2!2017!}+\frac{1}{4!2015!}+\frac{1}{6!2013!}+…+\frac{1}{2016!3!}+\frac{1}{2018!}$ theo$n$ ta được

C. $S=\frac{{{2}^{2018}}-1}{2017!}$.

B. $S=\frac{{{2}^{2018}}-1}{2017}$.

C. $S=\frac{{{2}^{2018}}}{2017!}$.

D. $S=\frac{{{2}^{2018}}}{2017}$.

Hướng dẫn

Đáp án A

Các số hạng của $S$ có dạng:

$\frac{1}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\frac{1}{2019!}\frac{2019!}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\frac{1}{2019!}C_{2019}^{2k}$.

Do đó $\Rightarrow 2019!S=C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2016}+C_{2019}^{2018}$.

Nhận thấy $C_{2019}^{2k}$ là hệ số của ${{x}^{2k}}$ trong khai triến ${{\left( x+1 \right)}^{2019}}$.

Vì vậy xét $P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$, theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$=$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{2019}^{2019}{{x}^{2019}}$

Từ đó ta có:

$P\left( 1 \right)=$$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}+…+C_{2019}^{2019}$.

$P\left( -1 \right)=$$C_{2019}^{0}-C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}-…+C_{2019}^{2018}-C_{2019}^{2019}$

Suy ra: $2019!S+1=C_{2019}^{0}+C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2018}=\frac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}={{2}^{2018}}$

$\Leftrightarrow S=\frac{{{2}^{2018}}-1}{2019!}$