Tìm \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+2\) tăng trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right).\)

Tìm \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+2\) tăng trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right).\)

A. \(m\ge 3.\)

B. \(m\ne 3.\)

C. \(m\le 3.\)

D. \(m<3.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Phương pháp. Dùng tính chất hàm số \(y=f\left( x \right)\) tăng hay đồng biến trên tập \(D\) khi \(y’=f’\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D.\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \(y’=3{{x}^{2}}-6x+m.\)

Để hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty \right)\) thì \(y’>0,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x\) trên \(\left( 1;+\infty \right).\) Ta có \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3>-3,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\)

Do đó nếu \(-3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 3.\) thì ta có \(3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\) Hay hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty \right).\)

Chọn đáp án A.