Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\).

A. \(2\cot 2x + C\)

B. \( – \cot 2x + C\)

C. \(\cot 2x + C\)

D. \( – 2\cot 2x + C\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Sử dụng biến đổi \({\sin ^2}x.{\cos ^2}x = \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\) biến đổi hàm số đã cho.

– Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = – \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}.4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\ = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} = 4.\left( { – \frac{1}{2}\cot 2x} \right) + C\\ = – 2\cot 2x + C\end{array}\)

Chọn D.