by Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x – 3}}{{2x + 1}}\) cùng với 2 tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng:
A. \(4\).
B. \(7\).
C. \(5\).
D. \(6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f’\left( {{x_0}} \right).\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x – 3}}{{2x + 1}}\) \(\left( C \right)\) có hai tiệm cận là: \(x = – \frac{1}{2},\,y = 2\), giao điểm của hai tiệm cận là: \(I\left( { – \frac{1}{2};2} \right)\)
Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = \frac{{4{x_0} – 3}}{{2{x_0} + 1}}\,\,\left( {{x_0} \ne – \frac{1}{2}} \right)\), \(y’\left( {{x_0}} \right) = \frac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
PTTT của \(\left( C \right)\) tại điểm M là: \(y = \frac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{4{x_0} – 3}}{{2{x_0} + 1}}\,\,\left( d \right)\)
Cho \(x = – \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(y = \frac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( { – \frac{1}{2} – {x_0}} \right) + \frac{{4{x_0} – 3}}{{2{x_0} + 1}}\)\( = \frac{{ – 5}}{{2{x_0} + 1}} + \frac{{4{x_0} – 3}}{{2{x_0} + 1}} = \frac{{4{x_0} – 8}}{{2{x_0} + 1}}.\)
\( \Rightarrow \)Giao điểm của d và TCĐ của \(\left( C \right)\) là: \(A\left( { – \frac{1}{2};\frac{{4{x_0} – 8}}{{2{x_0} + 1}}} \right)\)\( \Rightarrow IA = \left| {\frac{{4{x_0} – 8}}{{2{x_0} + 1}} – 2} \right| = \left| {\frac{{10}}{{2{x_0} + 1}}} \right|.\)
Cho \(y = 2\) ta có:
\(\begin{array}{l}2 = \frac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{4{x_0} – 3}}{{2{x_0} + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x – {x_0}} \right) = \frac{5}{{2{x_0} + 1}}\\ \Leftrightarrow x – {x_0} = \frac{{2{x_0} + 1}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{4{x_0} + 1}}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Giao điểm của d và TCN của \(\left( C \right)\) là: \(B\left( {\frac{{4{x_0} + 1}}{2};2} \right)\)\( \Rightarrow IB = \left| {\frac{{4{x_0} + 1}}{2} + \frac{1}{2}} \right| = \left| {2{x_0} + 1} \right|.\)
Diện tích tam giác tạo thành là: \(S = \frac{1}{2}.IA.IB = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{10}}{{2{x_0} + 1}}} \right|.\left| {2{x_0} + 1} \right| = 5\).
Chọn C.
