\(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right)dx} = 2019;\,4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2020.\) Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx.} \)

\(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right)dx} = 2019;\,4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2020.\) Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx.} \)

A. \(\frac{1}{9}\)

B. \(3\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(1\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần và đổi biến số.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right)dx} = 2019\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 3x = u\\f’\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3dx = du\\f\left( x \right) = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right)dx} = \left. {\left( {1 + 3x} \right)f\left( x \right)} \right|_0^1 – 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

\( = 4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) – 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2020 – 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2019\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\)

Xét \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx} \), đặt \(3x = t \Leftrightarrow 3dx = dt \Leftrightarrow dx = \frac{{dt}}{3}\).

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{1}{3} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}.\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)

Chọn A.