Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) là:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) là:

A. \(3\ln \left( {x – 2} \right) + \frac{4}{{x – 2}} + C\).

B. \(3\ln \left( {x – 2} \right) + \frac{2}{{x – 2}} + C\).

C. \(3\ln \left( {x – 2} \right) – \frac{2}{{x – 2}} + C\).

D. \(3\ln \left( {x – 2} \right) – \frac{4}{{x – 2}} + C\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Phân tích tử theo mẫu, sử dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản \(\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C;\,\,\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = – \frac{1}{x} + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{3x – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \frac{{3x – 6 + 4}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{x – 2}} + \frac{4}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left[ {\frac{3}{{x – 2}} + \frac{4}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ = 3\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{x – 2}}} + 4\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}} = 3\ln \left| {x – 2} \right| – \frac{4}{{x – 2}} + C\\Do\,\,x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow x – 2 > 0 \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = 3\ln \left( {x – 2} \right) – \frac{4}{{x – 2}} + C\end{array}\)

Chọn D