Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { – 2; + \infty } \right)\) là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { – 2; + \infty } \right)\) là

A. \(2\ln \left( {x + 2} \right) + \frac{1}{{x + 2}} + C\)

B. \(2\ln \left( {x + 2} \right) – \frac{1}{{x + 2}} + C\)

C. \(2\ln \left( {x + 2} \right) – \frac{3}{{x + 2}} + C\)

D. \(2\ln \left( {x + 2} \right) + \frac{3}{{x + 2}} + C\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = x + 2\), tính \(dx\) và thay vào tính nguyên hàm của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = x + 2\left( {t > 0} \right) \Rightarrow x = t – 2 \Rightarrow dx = dt\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{{2\left( {t – 2} \right) + 1}}{{{t^2}}}dt} \\ = \int {\frac{{2t – 3}}{{{t^2}}}dt} = \int {\left( {\frac{2}{t} – \frac{3}{{{t^2}}}} \right)dt} \\ = 2\ln t + \frac{3}{t} + C = 2\ln \left( {x + 2} \right) + \frac{3}{{x + 2}} + C\end{array}\)

Chọn D.