by Hình phẳng \(\left( H \right)\) có diện tích bằng \(S,\) gấp \(2\) lần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4,\,\,y = 2x – 4.\) Tính diện tích \(S?\)
A. \(S = \sqrt 8 \)
B. \(S = 2\)
C. \(S = \frac{8}{3}\)
D. \(S = \frac{4}{3}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx.} \)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4\) và \(y = 2x – 4\) là:
\({x^2} – 4 = 2x – 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 2x = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Gọi \({S_0}\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4,\,\,y = 2x – 4.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_0} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – 4 – \left( {2x – 4} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x – 4 – {x^2} + 4} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^2 {\left( {2x – {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}\\ \Rightarrow S = 2{S_0} = 2.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}.\end{array}\)
Chọn C.
