by Gọi \(z\) là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình: \({{z}^{2}}+\left( 1+2i \right)z-17+19i=0\)Khi đó giả sử \({{z}^{2}}=a+bi\) thì tích của \(a\) và \(b\) là:
A. \(-168\)
B. \(-12\)
C. \(-240\)
D. \(-5\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0,a,b,c\in C \right)\)
– Tính \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\).
– Tìm một căn bậc hai của \(\Delta \).
– Áp dụng công thức nghiệm \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\).
Tính nghiệm \(z\) thỏa mãn đề bài rồi tính \(a,b\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình: \({{z}^{2}}+\left( 1+2i \right)z-17+19i=0\)
Có: \(\Delta ={{\left( 1+2i \right)}^{2}}-4(-17+19i)=1+4i+4{{i}^{2}}+68-76i\)
\(=65-72i=81-2.9.4i+16{{i}^{2}}={{\left( 9-4i \right)}^{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{\left( 9-4i \right)}^{2}}}=\left| 9-4i \right|\)
\(\Rightarrow \)Phương trình có \(2\) nghiệm: \({{z}_{1}}=\frac{-1-2i+9-4i}{2}=4-3i\) (thỏa mãn), \({{z}_{2}}=\frac{-1-2i-9+4i}{2}=-5+i\)(loại)
Do đó: \({z^2} = a + bi \Leftrightarrow {\left( {4 – 3i} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow 16 – 24i + 9{i^2} = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = – 24\end{array} \right. \Rightarrow a.b{\rm{ }} = – 168\)
Chọn A
