by Gọi z là một nghiệm của phương trình \({z^2} – z + 1 = 0\). Giá trị của biểu thức \(M = {z^{2019}} + {z^{2018}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} + \frac{1}{{{z^{2018}}}} + 5\) bằng
A. \(5.\)
B. \(2.\)
C. \(7.\)
D. \( – 1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm \(z\).
– Tính \({z^3}\), từ đó phân tích \({z^{2019}},\,\,{z^{2018}}\) theo \({z^3}\) và tính giá trị biểu thức \(M\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({z^2} – z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\).
Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là \(z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\), ta có \({z^3} = – 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left( {{z^3}} \right)^{673}} = {\left( { – 1} \right)^{673}} = – 1\\{z^{2018}} = {\left( {{z^3}} \right)^{672}}.{z^2} = {\left( { – 1} \right)^{672}}.{\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2} = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}M = – 1 – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ – 1}} + \frac{1}{{ – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M = – 1 – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{1}{{ – 1}} – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}\)
Chọn B.
