by Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = – {x^3} + 12x\) và \(y = – {x^2}.\) Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng:
A. \(\frac{{343}}{{12}}\)
B. \(\frac{{793}}{4}\)
C. \(\frac{{397}}{4}\)
D. \(\frac{{937}}{{12}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx.} \)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = – {x^3} + 12x\) và \(y = – {x^2}\) ta được:
\(\begin{array}{l} – {x^3} + 12x = – {x^2} \Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 3\\x = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {S_H} = \int\limits_{ – 3}^0 {\left( { – {x^2} + {x^3} – 12x} \right)dx} + \int\limits_0^4 {\left( { – {x^3} + 12x + {x^2}} \right)dx} \\ = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} – 6{x^2}} \right)} \right|_{ – 3}^0 + \left. {\left( { – \frac{{{x^4}}}{4} + 6{x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4\\ = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}.\end{array}\)
Chọn D.
