Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {8 – {x^2}} }}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có tổng tất cả các nghiệm bằng :

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {8 – {x^2}} }}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có tổng tất cả các nghiệm bằng :

A. \(1 + \sqrt 3 \)

B. 2

C. 1

D. \(1 – \sqrt 3 \)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {8 – {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {8 – {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 8 – {x^2} \Leftrightarrow tdt = – xdx \Rightarrow xdx = – tdt\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{x \over {\sqrt {8 – {x^2}} }}dx} = \int\limits_{}^{} {{{ – tdt} \over t}} = – t + C = – \sqrt {8 – {x^2}} + C \cr & F\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow – 2 + C = 0 \Rightarrow C = 2 \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = – \sqrt {8 – {x^2}} + 2 \cr & F\left( x \right) = x \Leftrightarrow – \sqrt {8 – {x^2}} + 2 = x \cr & \Leftrightarrow \sqrt {8 – {x^2}} = 2 – x \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 – x \ge 0 \hfill \cr 8 – {x^2} = {x^2} – 4x + 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 2 \hfill \cr 2{x^2} – 4x – 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 1 – \sqrt 3 \cr} \)

Vậy phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm duy nhất \(x = 1 – \sqrt 3 \)

Chọn D.