by Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
A. \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \)
B. \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2{x^2} – 2x – 4} \right)dx} \)
C. \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} – 2x + 4} \right)dx} \)
D. \(\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)dx} \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Xác định hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số dựa vào đồ thị đề bài cho.
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \) .
– Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và phá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là \(\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Do đó diện tích phần gạch chéo là: \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – {x^2} + 2 – {x^2} + 2x + 2} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx} \).
Xét trên \(\left[ { – 1;2} \right]\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 2\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 2x – 2\) nên \( – 2{x^2} + 2x + 4 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]\), do đó \(\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right| = – 2{x^2} + 2x + 4\) \(\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]\).
Vậy \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
Chọn A.
