by Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn (tham khảo hình vẽ) có bán kính bằng \(10\,\,cm\) là:
A. \(100 \,\,c{m^2}.\)
B. \(160 \,\,c{m^2}.\)
C. \(80 \,\,c{m^2}.\)
D. \(200 \,\,c{m^2}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Đặt \(OA = x\), tính \(AD\) theo \(x\) và tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).
– Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(OA = x\,\,\left( {0 < x < 10} \right) \Rightarrow AB = 2x.\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(AD = \sqrt {100 – {x^2}} \).
Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2x\sqrt {100 – {x^2}} \).
Ta có: \(S’ = 2\sqrt {100 – {x^2}} + \frac{{ – 4{x^2}}}{{2\sqrt {100 – {x^2}} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow 4\left( {100 – {x^2}} \right) – 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 50\)\( \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \({S_{\max }} = S\left( {5\sqrt 2 } \right) = 100\,\,c{m^2}.\)
Chọn A.
