by Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?
C. Dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$, với ${{a}_{1}}=3$ và ${{a}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n}}+6},$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
B. Dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$, với ${{b}_{1}}=1$ và ${{b}_{n+1}}\left( 2b_{n}^{2}+1 \right)=3,$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
C. Dãy số $\left( {{c}_{n}} \right)$, với ${{c}_{1}}=2$ và ${{c}_{n+1}}=3c_{n}^{2}-10$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
D. Dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$, với ${{d}_{1}}=-3$ và ${{d}_{n+1}}=2\text{d}_{n}^{2}-15,$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Hướng dẫn
Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có ${{a}_{2}}=3;{{a}_{2}}=3;…$ Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng ${{a}_{n}}=3,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân (công bội bằng $1$).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{b}_{n}}=1,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{b}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân (công bội bằng $1$).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{c}_{n}}=2,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{c}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân (công bội bằng $1$).
+ Phương án D: Ta có: ${{d}_{1}}=-3,{{d}_{2}}=3,{{d}_{3}}=3$. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$ không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .
