by Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có điểm chung?
A. vô số
B. \(2020\)
C. \(4080\)
D. \(2021\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x = – m\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y = – m\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) có điểm chung.
Lập BBT rồi xác định số giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x = – m\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y = – m\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) có điểm chung.
Xét hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) ta có: \(y’ = 3{x^2} + 2020 > 0\,\,\forall x\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Ta có BBT:
\( \Rightarrow \) Với mọi giá trị của \(m\) thì đường thẳng \(y = – m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) tại 1 điểm.
Vậy có vô số giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Chọn A.
