by Có bao nhiêu giá trị dương của số thực \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} – 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) thỏa \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \).
A. \(3\).
B. \(2\).
C. \(1\).
D. \(4\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
Lời giải chi tiết:
TH1: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} – 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thực thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = \sqrt 3 \\{z_0} = – \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} = \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 + 3 + {a^2} – 2a = 0\) (vô nghiệm).
Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} = – \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 – 3 + {a^2} – 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
TH2: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} – 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm phức, tức là có hai nghiệm phức liên hợp.
Ta có: \(\Delta = 3 – 4\left( {{a^2} – 2a} \right) = – 4{a^2} + 8a + 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > \frac{{2 + \sqrt 7 }}{2}\\a < \frac{{2 – \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức \({z_{1,2}} = \frac{{ – \sqrt 3 \pm i\sqrt {4{a^2} – 8a – 3} }}{2}\).
Theo bài ra ta có: \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{{3 + 4{a^2} – 8a – 3}}{4} = 3 \Leftrightarrow 4{a^2} – 8a – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy, có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn: B
