by Cho \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({z^2} – 4z + 13 = 0\). Tính \({\left| {{z_1} + i} \right|^2} + {\left| {{z_2} + i} \right|^2}\).
A. \(28\).
B. \(2\sqrt 5 + 2\sqrt 2 \).
C. \(36\).
D. \(6\sqrt 2 \).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực xác định các nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\).
– Thay \({z_1},\,\,{z_2}\) vào biểu thức \({\left| {{z_1} + i} \right|^2} + {\left| {{z_2} + i} \right|^2}\), sử dụng công thức \(\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({z^2} – 4z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + 3i\\{z_2} = 2 – 3i\end{array} \right.\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left| {{z_1} + i} \right|^2} + {\left| {{z_2} + i} \right|^2}\\ = {\left| {2 + 3i + i} \right|^2} + {\left| {2 – 3i + i} \right|^2}\\ = {\left| {2 + 4i} \right|^2} + {\left| {2 – 2i} \right|^2}\\ = \left( {{2^2} + {4^2}} \right) + \left( {{2^2} + {2^2}} \right) = 28\end{array}\)
Chọn A.
