Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right)\). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\frac{{z + i}}{{z – i}}\) là một số thực âm là.

Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right)\). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\frac{{z + i}}{{z – i}}\) là một số thực âm là.

A. Các điểm trên trục tung với \( – 1 < y < 1\)

B. Các điểm trên trục hoành với \( – 1 < x < 1\)

C. Các điểm trên trục tung với \(\left[ \begin{array}{l}y < – 1\\y > 1\end{array} \right.\)

D. Các điểm trên trục hoành với \(\left[ \begin{array}{l}x \le – 1\\x \ge 1\end{array} \right.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Thay \(z = x + yi\), nhân liên hợp, xác định phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z – i}}\).

\(\frac{{z + i}}{{z – i}}\) là một số thực âm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z – i}}} \right) < 0\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z – i}}} \right) = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\frac{{z + i}}{{z – i}} = \frac{{x + yi + i}}{{x + yi – i}} = \frac{{x + \left( {y + 1} \right)i}}{{x + \left( {y – 1} \right)i}}\\ = \frac{{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x – \left( {y – 1} \right)i} \right]}}{{\left[ {x + \left( {y – 1} \right)i} \right]\left[ {x – \left( {y – 1} \right)i} \right]}}\\ = \frac{{{x^2} – x\left( {y – 1} \right)i + x\left( {y + 1} \right)i + \left( {y + 1} \right)\left( {y – 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 1 + \left( { – xy + x + xy + x} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 1}}{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}} + \frac{{2xi}}{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để \(\frac{{z + i}}{{z – i}}\) là một số thực âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 1 < 0\\2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\ – 1 < y < 1\end{array} \right.\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\frac{{z + i}}{{z – i}}\) là một số thực âm là các điểm trên trục tung với \( – 1 < y < 1\)

Chọn A.