by Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 1\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} + 3z + \overline z } \right| – \left| {z + \overline z } \right|\). Tính \(M + m.\)
A. \(M + m = \frac{7}{4}.\)
B. \(M + m = \frac{{13}}{4}.\)
C. \(M + m = \frac{{15}}{4}.\)
D. \(M + m = 4.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Đặt \(z = a + bi\) rồi tính môđun của P.
Rút b theo a rồi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z = a + bi\) \(\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo bài ra ta có: \(\left| z \right| = 1\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow – 1 \le a \le 1\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} + 3z + \overline z } \right| – \left| {z + \overline z } \right|\\P = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2} + 3\left( {a + bi} \right) + a – bi} \right| – \left| {a + bi + a – bi} \right|\\P = \left| {{a^2} – {b^2} + 4a + 2abi + 2bi} \right| – \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} – {b^2} + 4a} \right)}^2} + {{\left( {2ab + 2b} \right)}^2}} – \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} – \left( {1 – {a^2}} \right) + 4a} \right)}^2} + {{\left[ {2b\left( {a + 1} \right)} \right]}^2}} – \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {2{a^2} + 4a – 1} \right)}^2} + 4\left( {1 – {a^2}} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}} – \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {4{a^4} + 16{a^2} + 1 + 16{a^3} – 4{a^2} – 8a + 4\left( { – {a^4} – 2{a^3} + 2a + 1} \right)} – \sqrt {4{a^2}} \\P = \sqrt {8{a^3} + 12{a^2} + 5} – \sqrt {4{a^2}} \end{array}\)
Sử dụng MODE 7 ta tìm được \(M = \max P = 3,\,\,m = \min P = 1\).
Vậy\(M + m = 3 + 1 = 4\).
Chọn D.
