by Cho số phức \(z\) có phần thực bằng \(\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {\frac{1}{z} – i} \right|\) bằng
A. \(\sqrt 2 \).
B. \(1\).
C. \(1 + \sqrt 2 \).
D. \(2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Gọi \(z = \sqrt 2 + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)\). Sử dụng phương pháp hàm số.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(z = \sqrt 2 + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)\). Theo bài ra ta có:
\(\left| {\frac{1}{z} – i} \right| = \frac{{\left| {1 – iz} \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{\left| {1 – i\left( {\sqrt 2 + yi} \right)} \right|}}{{\sqrt {2 + {y^2}} }} = \sqrt {\frac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}}} = \sqrt {f\left( y \right)} \).
Xét hàm số
\(\begin{array}{l}f\left( y \right) = \frac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}} = \frac{{3 + 2y + {y^2}}}{{2 + {y^2}}} = 1 + \frac{{1 + 2y}}{{2 + {y^2}}}\\f’\left( y \right) = \frac{{2\left( {2 + {y^2}} \right) – \left( {1 + 2y} \right).2y}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \frac{{4 + 2{y^2} – 2y – 4{y^2}}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \frac{{ – 2{y^2} – 2y + 4}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}}\\f’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow – 2{y^2} – 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = – 2\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \max f\left( y \right) = f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \max \left| {\frac{1}{z} – i} \right| = \sqrt 2 \).
Chọn A.
