by Cho số phức thỏa mãn \(\left| \left( 1+i \right)z+2 \right|+\left| \left( 1+i \right)z-2 \right|=4\sqrt{2}\). Gọi \(m=\max \left| z \right|;\,\,n=\min \left| z \right|\) và số phức \(w=m+ni\). Tính \({{\left| w \right|}^{2018}}\).
A.
\({{4}^{1009}}\)
B.
\({{5}^{1009}}\)
C.
\({{6}^{1009}}\)
D. \({{2}^{1009}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Chia cả 2 vế cho \(\left| 1+i \right|\) và suy ra đường biểu diễn của số phức z.
Lời giải chi tiết:
\(\left| \left( 1+i \right)z+2 \right|+\left| \left( 1+i \right)z-2 \right|=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| z+\frac{2}{1+i} \right|+\left| z-\frac{2}{1+i} \right|=\frac{4\sqrt{2}}{\left| 1+i \right|}\Leftrightarrow \left| z+1-i \right|+\left| z-1+i \right|=4\)
\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm z là elip có độ dài trục lớn là \(2a=4\Rightarrow a=2\) và hai tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( 1;-1 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( -1;1 \right)\Rightarrow c=\sqrt{2}\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=\sqrt{2}\).
\(\begin{align} \Rightarrow m=\max \left| z \right|=2;\,\,n=\min \left| z \right|=\sqrt{2} \\ \Rightarrow w=2+\sqrt{2}i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{6}\Rightarrow {{\left| w \right|}^{2018}}={{6}^{1009}} \\ \end{align}\)
Chọn C.
