. Cho số nguyên $n\ge 3$. Giả sử ta có khai triển ${{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$. Biết$T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=768.$Tính ${{a}_{5}}$.

.

Cho số nguyên $n\ge 3$. Giả sử ta có khai triển ${{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$. Biết$T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=768.$Tính ${{a}_{5}}$.

C. $126{{x}^{5}}$.

B. $-126{{x}^{5}}$.

C. $126$.

D. $-126$.

Hướng dẫn

Đáp án D

Theo giả thiết ta có:

$P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$.

Khi đó $P\left( 1 \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}$và $P\left( -1 \right)={{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}-…+{{a}_{2n}}$.

Suy ra $T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=\frac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}=\frac{{{2}^{2n-1}}+{{2}^{2n}}}{2}={{3.2}^{2n-2}}$

$\Rightarrow 768={{3.2}^{2n-2}}\Leftrightarrow n=5$

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+x}\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{C_{2n-k}^{k}{{x}^{k}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+}\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n-k}^{k-1}{{x}^{k}}}=1+\sum\limits_{k=1}^{2n}{\left( C_{2n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{2n-1}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}=1+\sum\limits_{k=1}^{10}{\left( C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{9}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}$.

Vậy ${{a}_{5}}=C_{10}^{5}{{\left( -1 \right)}^{5}}+C_{9}^{4}=-126.$