by Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z + 2\overline z = 6 + i.\) Số phức \(z\) đã cho là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
A. \({z^2} – 4z + 5 = 0\)
B. \({z^2} + 3z + 4 = 0\)
C. \({z^2} + 4z + 5 = 0\)
D. \({z^2} – 3z + 4 = 0\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi.\)
Từ biểu thức bài cho, tìm số phức \(z\) sau đó thay số phức \(z\) vừa tìm được vào các phương trình ở các đáp án để chọn đáp án đúng.
Hoặc giải các phương trình ở các đáp án đã cho, tìm phương trình chứa nghiệm là số phức \(z\) đã tìm được ở trên.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi.\)
Theo đề bài ta có: \(z + 2\overline z = 6 + i\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + bi + 2\left( {a – bi} \right) = 6 + i\\ \Leftrightarrow a + bi + 2a – 2bi = 6 + i\\ \Leftrightarrow 3a – bi = 6 + i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 6\\ – b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 1\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 – i.\end{array}\)
+) Đáp án A: \({z^2} – 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 – i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow z = 2 – i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} – 4z + 5 = 0\)
Chọn A.
