. Cho khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{2014}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2014}}{{x}^{2014}}$. Khi đó tổng $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}$ có giá trị bằng

.

Cho khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{2014}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2014}}{{x}^{2014}}$. Khi đó tổng $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}$ có giá trị bằng

C. $\frac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$.

B. $\frac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{2}$.

C. $\frac{{{7}^{2014}}}{6}$.

D. $\frac{{{5}^{2014}}}{2}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Nhận thấy rằng:

$3S=3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}$

Lần lượt thay $x=3$,$x=-3$ vào khai triển đã cho ta được:

$P\left( 3 \right)={{7}^{2014}}={{a}_{0}}+3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}+…+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}$

$P\left( -3 \right)={{5}^{2014}}={{a}_{0}}-3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}-…-{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}$

Trừ hai đẳng thức này vế theo vế, ta được:

$2\left( 3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}} \right)={{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}$

$\Leftrightarrow 3S=\frac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{2}\Leftrightarrow S=\frac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$

Vậy $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}=\frac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$