by Cho \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}dx = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5,} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}.\) Giá trị của \(a + b + c\) bằng:
A. \( – 1\)
B. \(4\)
C. \(1\)
D. \(7\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân của hàm số hữu tỉ rồi suy ra các giá trị của \(a,\,b,\,c\) rồi tính giá trị của biểu thức và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \int\limits_1^3 {{{2x + 1} \over {{x^2} + 3x + 2}}dx} = \int\limits_1^3 {{{2x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \cr
& = \int\limits_1^3 {\left( {{3 \over {x + 2}} – {1 \over {x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {3\ln \left| {x + 2} \right| – \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3 \cr
& = 3\ln 5 – \ln 4 – 3\ln 3 + \ln 2 = 3\ln 5 – 2\ln 2 – 3\ln 3 + \ln 2 \cr
& = – \ln 2 – 3\ln 3 + 3\ln 5 = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = – 1 \hfill \cr
b = – 3 \hfill \cr
c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a + b + c = – 1 – 3 + 3 = – 1. \cr} \)
Chọn A.
