Cho \(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} = a + b\sqrt 3 \) với a, b là số hữu tỉ. Tính giá trị a – b.

Cho \(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} = a + b\sqrt 3 \) với a, b là số hữu tỉ. Tính giá trị a – b.

A. \( – {1 \over 3}\)

B. \( – {2 \over 3}\)

C. \({1 \over 3}\)

D. \({2 \over 3}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{{4dx} \over {{{\sin }^2}2x}}} = \left. { – 2\cot 2x} \right|_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} = – 2\left( {0 – {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {2 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 0 \hfill \cr b = {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow a – b = – {2 \over 3}\)

Chọn B.