by Cho hình vuông $ABCD$, $M\in BC$, $K\in DC$ sao cho $\widehat{BAM}=\widehat{MAK}$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng ?
C. $AD=AK-KD$ .
B. $AB=AM+DK$.
C. $AK=BM+KD$.
D. $AM=BM+AB$.
Hướng dẫn
Đáp án C.
Ta có: ${{Q}_{\left( A,{{90}^{0}} \right)}}:\,B\to D;\,{{Q}_{\left( A,{{90}^{0}} \right)}}:\,M\to {M}’\Rightarrow {{Q}_{\left( A,{{90}^{0}} \right)}}:\,BM\to D{M}’\Rightarrow BM=D{M}’$.
Vậy, $BM+KD=D{M}’+KD$.
Cần chứng minh: ${M}’,\,D,\,K$ thẳng hàng và $\Delta AK{M}’$ cân tại $K$$\Rightarrow D{M}’+KD=K{M}’$.
Thật vậy: ${{Q}_{\left( A,{{90}^{0}} \right)}}\left( BM \right)=D{M}’\Rightarrow BM\bot D{M}’$. Mà $BM\text{ // }AD\Rightarrow AD\bot D{M}’\Rightarrow \widehat{AD{M}’}={{90}^{0}}$
${M}’,\,D,\,K$ thẳng hàng.
Ta có: ${{Q}_{\left( A,{{90}^{0}} \right)}}:\,\Delta ABM\to \,\Delta AD{M}’\Rightarrow \widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{M}_{1}}^{\prime }}$.
Có: $\widehat{{M}’AK}+\widehat{{{A}_{1}}}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{{M}’AK}+\widehat{{{A}_{3}}}={{90}^{0}}$ (do $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{3}}}$) $\Rightarrow \widehat{{M}’AK}=\widehat{{{M}_{1}}}\Rightarrow \Delta AKM$ cân tại $K$
$\Rightarrow K{M}’=KD+D{M}’=KA\Rightarrow KD+BM=AK$
