by Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {\ln x} \), trục hoành và đường thẳng \(x = 3\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu ?
A. \(\left( {3\ln 3 – 3} \right)\pi .\)
B. \(\left( {3\ln 3 + 2} \right)\pi .\)
C. \(\frac{{2\pi }}{3}.\)
D. \(\left( {3\ln 3 – 2} \right)\pi .\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Tìm hoành độ giao điểm của \(y = \sqrt {\ln x} \) và truc hoành.
– Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của \(y = \sqrt {\ln x} \) và truc hoành là nghiệm của phương trình
\(\sqrt {\ln x} = 0 \Leftrightarrow \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Thể tích khối tròn xoay là giới hạn bởi \(y = \sqrt {\ln x} \), trục hoành và đường thẳng \(x = 3\) là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_1^3 {\ln xdx} = \pi \left( {\left. {x\ln x} \right|_1^3 – \int\limits_1^3 {x.\frac{1}{x}dx} } \right)\\\,\,\,\, = \pi \left( {3\ln 3 – \int\limits_1^3 {dx} } \right) = \pi \left( {3\ln 3 – 2} \right)\end{array}\)
Chọn D.
