by Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \sin x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \). Khối tròn xoay \(D\) tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
A. \(V = 2\left( {\pi + 1} \right)\)
B. \(V = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)\)
C. \(V = 2{\pi ^2}\)
D. \(V = 2\pi \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt {2 + \sin x} = 0 \Leftrightarrow \sin x = – 2\) (vô nghiệm).
Khi đó ta có khối tròn xoay \(D\) tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {2 + \sin x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {2x – \cos x} \right)} \right|_0^\pi \\\,\,\,\, = \pi \left( {2\pi + 1 + 1} \right) = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)\end{array}\)
Chọn B.
