by Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},\)\(y = 1,\)\(x = 2\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho \(D\) quay quanh \(Ox\).
A. \(\pi \left( {{e^2} – 3} \right).\)
B. \(\frac{\pi }{2}\left( {{e^4} – 1} \right).\)
C. \(\pi \left( {\frac{1}{2}{e^4} – 2{e^2} + \frac{7}{2}} \right).\)
D. \(\frac{\pi }{2}{e^4} – \frac{{5\pi }}{2}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Xét phương trình hoành độ giao điểm.
– Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V =\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y = {e^x};\,\,y = 1\), \(x = 0\), \(x = 2\) có thể tích bằng:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}} – 1} \right|dx} = \left| {\left. {\pi \left( {\frac{1}{2}{e^{2x}} – x} \right)} \right|_0^2} \right| = \pi \left( {\frac{1}{2}{e^4} – \frac{5}{2}} \right)\)
Chọn D.
