by Cho hàm số \(y = {x^3} – 2{x^2} + \left( {m – 1} \right)x + 2m\). Tìm \(m\) để từ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị.
A. \(m \in \left\{ {\frac{4}{3};\frac{{109}}{{81}}} \right\}.\)
B. \(m \in \emptyset .\)
C. \(m = \frac{2}{3}.\)
D. \(m = \frac{{55}}{{81}}.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Lời giải chi tiết:
+ Lập phương trình đường thẳng đi qua\(M(1;2)\)
\( \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng có dạng:\(y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\)
\( \Leftrightarrow y = k\left( {x – 1} \right) + 2 \Leftrightarrow y = kx – k + 2\)
Đường thẳng qua M và tiếp xúc với Đồ thị
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 2{x^2} + (m – 1)x + 2m = kx – k + 2\\3{x^2} – 4x + (m – 1) = k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + mx – x + 2m = 3{x^3} – 4{x^2} + mx – x – 3{x^2} + 4x – m + 1 + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} – 5{x^2} + 4x + 3 = 3m\,\,(*)\end{array}\)
Để kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị \( \Rightarrow \) PT (*) phải có 2 nghiệm
Xét \(f\left( x \right) = 2{x^3} – 5{x^2} + 4x + 3\)
\(f’\left( x \right) = 6{x^2} – 10x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
BBT:
PT (*) có 2 nghiệm \( \Rightarrow \) Đường thẳng\(y = 3m\) phải cắt đồ thị tại 2 điểm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = \frac{{109}}{{27}}\\3m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{109}}{{81}}\\m = \frac{4}{3}\end{array} \right..\)
Chọn A
