by Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^3} – 5{x^2} + \left( {6 – m} \right)x + 3\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 cực trị?
A. \(6\)
B. \(3\)
C. \(2\)
D. \(5\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Hàm đa thức:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) = 2 \( \times \) Số điểm cực trị dương của \(f\left( x \right)\) + 1.
Lời giải chi tiết:
Để \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị dương.
\( \Rightarrow \) Phương trình \(y’ = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Ta có \(y’ = 3\left( {m + 1} \right){x^2} – 10x + 6 – m\).
Để phương trình \(y’ = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ‘ = 25 – 3\left( {m + 1} \right)\left( {6 – m} \right) > 0\\S = \frac{{10}}{{3\left( {m + 1} \right)}} > 0\\P = \frac{{6 – m}}{{3\left( {m + 1} \right)}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 1\\3{m^2} – 15m + 7 > 0\\m > – 1\\ – 1 < m < 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{15 + \sqrt {141} }}{6}\\m < \frac{{15 – \sqrt {141} }}{6}\end{array} \right.\\ – 1 < m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { – 1;\frac{{15 – \sqrt {141} }}{6}} \right) \cup \left( {\frac{{15 + \sqrt {141} }}{6};6} \right)\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;5} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
