by Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) cắt \(Ox,\,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,\,B\). Có bao nhiêu điểm \(M\) có tọa độ nguyên thuộc \(\left( C \right)\) sao cho \({S_{\Delta MAB}} = 3\).
A. \(0\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ các điểm A, B. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác sau để đánh giá tọa độ của điểm M:
* Cho tam giác ABC, có tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Từ công thức diện tích:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A\) ta chứng minh được công thức: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\left| {{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}} \right|\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ giao điểm của (C) với Ox, Oy lần lượt là \(A\left( {1;0} \right),\,B\left( {0; – 1} \right)\). Lấy \(M\left( {m;\frac{{m – 1}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right),\,m \ne – 1\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 1} \right),\,\overrightarrow {AM} = \left( {m – 1;\frac{{m – 1}}{{m + 1}}} \right)\)
Diện tích tam giác ABM: \({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.\left| {\left( { – 1} \right).\frac{{m – 1}}{{m + 1}} – \left( { – 1} \right)\left( {m – 1} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{m – {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 3\)
\( \Rightarrow \left| {\frac{{m – {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{m – {m^2}}}{{m + 1}} = 6\\\frac{{m – {m^2}}}{{m + 1}} = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – {m^2} = 6m + 6\\m – {m^2} = – 6m – 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 5m + 6 = 0\\{m^2} – 7m – 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 3\\m = \frac{{7 \pm \sqrt {73} }}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Vậy, có tất cả 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Chọn B.
