Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) = – \frac{4}{{19}}\) và \(f’\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn \(f\left( 2 \right) = – \frac{4}{{19}}\) và \(f’\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( – \frac{2}{3}.\)

B. \( – \frac{1}{2}.\)

C. \( – 1.\)

D. \( – \frac{3}{4}.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Biến đổi giả thiết rồi lấy nguyên hàm hai vế.

Chú ý \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f’\left( x \right)dx\) hoặc đặt ẩn phụ \(f\left( x \right) = t\) .

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f’\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\, \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {{x^3}dx} \Leftrightarrow \int {\frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)

\( \Leftrightarrow – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{{x^4}}}{4} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{\frac{{{x^4}}}{4} + C}}\)

Mà \(f\left( 2 \right) = – \frac{4}{{19}}\) nên \(f\left( 2 \right) = \frac{{ – 1}}{{\frac{{{2^4}}}{4} + C}} \Leftrightarrow \frac{{19}}{4} = 4 + C \Leftrightarrow C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ – 4}}{{{x^4} + 3}}\)

Suy ra \(f\left( 1 \right) = \frac{{ – 4}}{{{1^4} + 3}} = – 1.\)

Chọn C.