Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f’\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\) và \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{2}\), tính \(f\left( 3 \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f’\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\) và \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{2}\), tính \(f\left( 3 \right)\).

A. \(\frac{{\ln 3 – 3}}{2}\)

B. \(\frac{{{{\ln }^2}3 – 3}}{2}\)

C. \(\frac{{\ln 3 + 3}}{2}\)

D. \(\frac{{{{\ln }^2}3 + 3}}{2}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm: Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và suy ra giá trị \(f\left( 3 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} \)

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\) \( \Rightarrow \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {tdt} = \frac{{{t^2}}}{2} + C = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\). Mà \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{3}{2} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + \frac{3}{2}\)

Vậy \(f\left( 3 \right) = \frac{{{{\ln }^2}3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{{{{\ln }^2}3 + 3}}{2}\) .

Chọn D.