by Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (-2019 ;2020) để đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {f\left( x \right)} }}{{\left( {f\left( x \right) – 2} \right)\left( {{x^2} – 2mx + m + 2} \right)}}\) có 5 đường tiệm cận ( tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Số phần tử của \(S\) là:
A. \(2016.\)
B. \(4034.\)
C. \(4036.\)
D. \(2017.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Dựa vào đồ thị để tìm nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\).
– Biện luận để tìm điều kiện của \(m\).
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1; đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {1;0} \right),\,\,\left( {2;2} \right);\,\,\left( { – 1;2} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\a + b + c + d = 0\\8a + 4b + 2c + d = 2\\ – a + b – c + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\\c = \frac{{ – 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}x + 1 = \frac{1}{2}{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {f\left( x \right)} }}{{\left( {f\left( x \right) – 2} \right)\left( {{x^2} – 2mx + m + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\frac{1}{2}\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} – 2mx + m + 2} \right)}}\,\,\,\left( {x \ge – 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\frac{1}{2}\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2mx + m + 2} \right)}}\,\,\left( {x \ge – 2} \right)\end{array}\)
Đồ thị hàm số có 1 đường TCN là \(y = 0\).
Để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} – 2mx + m + 2 = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(2,\,\, – 1,\,\,1\) và thỏa mãn lớn hơn hoặc bằng \( – 2\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {m^2} – m – 2 > 0\\1 – 2m + m + 2 \ne 0\\1 + 2m + m + 2 \ne 0\\4 – 4m + m + 2 \ne 0\\{x_1} + {x_2} = 2m > – 4\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < – 1\end{array} \right.\\m \notin \left\{ {3; – 1;2} \right\}\\m > – 2\\m + 2 + 2.2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\ – 2 < m < – 1\end{array} \right.\\m \ne 3\\m \ge – \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\ – \frac{6}{5} \le m < – 1\end{array} \right.\\m \ne 3\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { – 2019;2020} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < m < 2020\\n \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \) Có 2016 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
