by Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) bằng \(7.\)
A. \(m = \pm 1\)
B. \(m = \pm \sqrt 7 \)
C. \(m = \pm \sqrt 2 \)
D. \(m = \pm 3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} – 2 = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} = 9\\ \Leftrightarrow m = \pm 3.\end{array}\)
Chọn D.
