by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in R\). \(f’\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{f}^{2}}\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right)=-0.5\). Biết rằng tổng \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+…+f\left( 2017 \right)=\frac{a}{b};\,\,\left( a\in Z,b\in N \right)\) với \(\frac{a}{b}\) tối giản.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(a\in \left( -2017;2017 \right)\)
B. \(b-a=4035\)
C. \(a+b=-1\)
D. \(\frac{a}{b}<-1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Chuyển vế, lấy nguyên hàm hai vế.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\\
\Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {\frac{{f’\left( x \right)dx}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = \int\limits_{}^{} {\left( {2x + 1} \right)dx} \\
\Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\\
f\left( 1 \right) = – 0,5 \Leftrightarrow – \frac{1}{{ – 0,5}} = 1 + 1 + C \Leftrightarrow C = 0\\
\Leftrightarrow f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2} + x}} = – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = – \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{x}\\
\Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + … + f\left( {2017} \right)\\
= \frac{1}{2} – 1 + \frac{1}{3} – \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{{2017}} – \frac{1}{{2016}} + \frac{1}{{2018}} – \frac{1}{{2017}}\\
= – 1 + \frac{1}{{2018}} = \frac{{ – 2017}}{{2018}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 2017\\
b = 2018
\end{array} \right. \Rightarrow b – a = 4035
\end{array}\)
Chọn B.
