by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( x \right) = 3\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) + 2m\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 7\).
A. \(m = 7\)
B. \(m = – 2\)
C. \(m = 2\)
D. \(m = – 5\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Nhận xét: Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
– Đặt ẩn phụ \(t = 3{x^3} + 2x – 1\). Tìm khoảng giá trị của \(t\).
– Dựa vào giả thiết tìm GTLN của \(f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right)\), từ đó suy ra GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) + 2m\) theo \(m\).
– Giải phương trình GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) + 2m\) = \( – 7\), tìm \(m\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đặt \(t = 3{x^3} + 2x – 1\) ta có: \(t’\left( x \right) = 9{x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;4} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {3{x^3} + 2x – 1} \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( t \right) = 3\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + 2m = – 7 \Leftrightarrow m = – 5\).
Chọn D.
