Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f’\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in R\) và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc R. Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f’\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in R\) và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc R. Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với mọi \({x_1};\,{x_2};\,{x_3} \in R\) và \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

B. Với mọi \({x_1};\,{x_2};\,{x_3} \in R\) và \({x_1} > {x_2} > {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

C. Với mọi \({x_1};\,{x_2} \in R\) và \({x_1} \ne {x_2},\) ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} – {x_2}}} < 0\).

D. Với mọi \({x_1};\,{x_2} \in R\) và \({x_1} \ne {x_2},\) ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} – {x_2}}} > 0\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

– Sử dụng định nghĩa đồng biến, nghịch biến.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên R.

Phân tích từng đáp án ta có:

+) Đáp án A: Với \({x_1} < {x_2} < {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_3}} \right)}} > 0\) loại A.

+) Đáp án B: Với \({x_1} > {x_2} > {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_3}} \right)}} > 0 \Rightarrow \) loại B.

+) Đáp án C: Với \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\) và vì hàm số nghịch biến nên dấu của biểu thức \(\left( {{x_1} – {x_2}} \right)\) và \(\left[ {f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)} \right]\) ngược dấu \( \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} – {x_2}}} < 0 \Rightarrow \) C đúng.

Chọn C.