by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\) là:
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).
– Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\).
– Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).
Lời giải chi tiết:
Dựa vào BBT ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}} = 0\end{array}\)
Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có TCN \(y = 0\).
Dựa vào BBT ta lại thấy: Phương trình \(2f\left( x \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt, và 3 nghiệm này không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử. Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) – 3}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.
Chọn B.
